Линейная алгебра

Материал из CompVision

Содержание

1 cvSetIdentity
2 cvDotProduct
3 cvCrossProduct
4 cvScaleAdd
5 cvGEMM
6 cvTransform
7 cvPerspectiveTransform
8 cvMulTransposed
9 cvTrace
10 cvTranspose
11 cvDet
12 cvInvert
13 cvSolve
14 cvSVD
15 cvSVBkSb
16 cvEigenVV
17 cvCalcCovarMatrix
18 cvMahalanobis

cvSetIdentity

void cvSetIdentity(CvArr* mat, CvScalar value=cvRealScalar(1));

Параметры:

arr – Инициализируемая матрица (не обязательно квадратная)
value – значение, присваиваемое диагональным элементам.

Инициализирует матрицу, как единичную матрицу, умноженную на число:

$LaTeX: mat=\left[ \begin{matrix} <pre> value & 0 & 0 \\ 0 & value & 0 \\ 0 & 0 & value \\ </pre> \end{matrix} \right]$

то есть, при j=i значение элемента равно value, иначе 0.

cvDotProduct

double cvDotProduct(const CvArr* src1, const CvArr* src2);

Параметры:

src1 – Первая матрица
src2 – Вторая матрица

Вычисляет скалярное произведение двух матриц в евклидовой метрике (обычное прямоугольное пространство :) ).

Возвращает число.

$LaTeX: src1\cdot src2=\sum\limits_{I}{(src1(I)\cdot src2(I))}$

В случае многоканальных матриц, результаты для всех каналов объединяются. В частности, cvDotProduct(a,a) где a комплексный? (complex) вектор, возвратит $LaTeX: {{\left\| a \right\|}^{2}}$ . Функция может обрабатывать многомерные массивы, строка за строкой, слой за слоем, и так далее.

cvCrossProduct

void cvCrossProduct(const CvArr* src1, const CvArr* src2, CvArr* dst);

Параметры:

src1 – Первый перемножаемый вектор
src2 – Второй перемножаемый вектор
dst – Результирующий вектор

Возвращает векторное произведение двух трехмерных векторов.

$LaTeX: dst=src1\times src2$

если поэлементно, то так:

$LaTeX: \begin{align} <pre> & ds{{t}_{1}}=src{{1}_{2}}src{{2}_{3}}-src{{1}_{3}}src{{2}_{2}} \\ & ds{{t}_{2}}=src{{1}_{3}}src{{2}_{1}}-src{{1}_{1}}src{{2}_{3}} \\ & ds{{t}_{3}}=src{{1}_{1}}src{{2}_{2}}-src{{1}_{2}}src{{2}_{1}} \\ </pre> \end{align}$

cvScaleAdd

// Определено так:
#define cvMulAddS cvScaleAdd
 
void cvScaleAdd(const CvArr* src1, CvScalar scale, const CvArr* src2, CvArr* dst);

Параметры:

src1 – Первая исходная матрица
scale – Масштабный фактор первой матрицы
src2 – Вторая исходная матрица
dst – Результирующая матрица

Вычисляет сумму матрицы, умноженной на число и другой матрицы.

$LaTeX: dst(I)=scale\cdot src1(I)+src2(I)$

Матрицы должны иметь одинаковые размеры и тип элементов.

cvGEMM

Операция обобщенного матричного умножения.

Производные функции

 #define cvMatMulAdd( src1, src2, src3, dst ) cvGEMM( src1, src2, 1, src3, 1, dst, 0 );
 #define cvMatMul( src1, src2, dst ) cvMatMulAdd( src1, src2, 0, dst );

void cvGEMM(const CvArr* src1, const CvArr* src2, double alpha, const CvArr* src3, double beta, CvArr* dst, int tABC=0);

Параметры:

param src1: Первая исходная матрица param src2: Вторая исходная матрица param src3: Третья исходная матрица (смещение). Может быть NULL когда смещение не используется. param dst: Результирующая матрица param tABC: Флаги операции, который могут быть равны 0 или быть комбинацией следующих значений

CV_GEMM_A_T - Транспонировать src1
CV_GEMM_B_T - Транспонировать src2
CV_GEMM_C_T - Транспонировать src3

$LaTeX: dst=alpha\cdot op(src1)\cdot op(src2)+beta\cdot op(src3)$

где op может принимать вид:

$LaTeX: \begin{align} <pre> & op(X)=X \\ & op(X)={{X}^{T}} \\ </pre> \end{align}$

Например, CV_GEMM_A_T+CV_GEMM_C_T соответствует функции:

$LaTeX: dst=alpha\cdot src{{1}^{T}}\cdot src2+beta\cdot src{{3}^{T}}$

Все матрицы должны иметь одинаковый тип элементов и правильные размеры (для проведения матричных операций). Действительный и комплексный тип элементов поддерживается данной функцией.

cvTransform

Применяет матричное преобразование к каждому элементу матрицы.

$LaTeX: dst(I)=transmat\cdot src(I)+shiftvec$

void cvTransform(const CvArr* src, CvArr* dst, const CvMat* transmat, const CvMat* shiftvec=NULL);

Параметры:

src – Исходная матрица
dst – Результирующая матрица
transmat – трансформирующая матрица
shiftvec – необязательный вектор сдвига

Каждый элемент N-канальной матрицы src рассматривается как N-элементный вектор преобразуется с использованием M x N матрицы transmat и вектора смещения shiftvec в элемент результирующей M-канальной матрицы dst. Существует возможность встраивания shiftvec в transmat. В этом случае transmat должен иметь размерность M x (N+1), где самый правый столбец считается вектором смещения. Исходная и результирующая матрицы должны иметь одинаковый размер (или иметь одинакового размера ROI) и количество каналов, тип ячейки shiftvec и transmat должен быть действительным.

Эта функция может быть использована для геометрических преобразований n - мерных наборов точек, независимых линейных преобразований цветового пространства, манипулирования каналами и т.д.

cvPerspectiveTransform

Производит перспективное матричное преобразование массива векторов, принимая каждый элемент матрицы src как двумерный или трехмерный вектор.

$LaTeX: (x,y,z)\to \left( \frac{{{x}'}}{w},\frac{{{y}'}}{w},\frac{{{z}'}}{w} \right)$

где

$LaTeX: ({x}',{y}',{z}',{w}')=mat\cdot [x,y,z,1]$

и w=w' если w' не равно 0, иначе w=(бесконечности :) )

void cvPerspectiveTransform(const CvArr* src, CvArr* dst, const CvMat* mat);

Параметры:

src – Исходная трехканальная матрица с элементами действительного типа
dst – Результирующая трехканальная матрица с элементами действительного типа
mat – 3x3 или 4x4 матрица преобразования

cvMulTransposed

Возвращает произведение матрицы на её же транспонированную.

если order=0

$LaTeX: dst=scale(src-delta){{(src-delta)}^{T}}$

или

$LaTeX: dst=scale{{(src-delta)}^{T}}(src-delta)$

в другом случае

void cvMulTransposed(const CvArr* src, CvArr* dst, int order, const CvArr* delta=NULL, double scale=1.0);

Параметры:

src – исходная матрица
dst – результирующая матрица. тип элемента должен быть CV_32F или CV_64F.
order – порядок множителей (перемножение матриц не коммутативно)
delta – необязательная матрица, вычитаемая из src перед умножением
scale – необязательный масштабный фактор

cvTrace

Возвращает след матрицы (сумму элементов диагонали).

$LaTeX: tr=\sum\limits_{i}{mat(i,i)}$

Параметры:

mat - исходная матрица

CvScalar cvTrace(const CvArr* mat);

cvTranspose

Выполняет транспонирование матрицы:

dst(i,j)=src(j,i);

void cvTranspose(const CvArr* src, CvArr* dst);

Параметры:

src - исходная матрица
dst - результирующая матрица

Замечание: В случае комплексных матриц, комплексное сопряжение не производится. Сопряжени должно производиться отдельно: см. код примера к команде cvXorS().

cvDet

Возвращает определитель матрицы.

Параметры:

mat - исходная матрица

double cvDet(const CvArr* mat);

Функция cvDet возвращает определитель квадратной матрицы mat. Для малоразмерных матриц используется прямой метод вычисления. Для матриц большого размера используется метод Гаусса. Для симметричных положительно-определенных матриц, возможно также запустить cvSVD() с U=V=0 и после этого вычислять определитель как произведение диагональных элементов W.

cvInvert

Имеет функцию-синоним cvInv:

#define cvInv cvInvert

Возвращает матрицу обратную или псевдо-обратную заданной.

double cvInvert(const CvArr* src, CvArr* dst, int method=CV_LU);

Параметры:

src – Исходная матрица
dst – Результирующая обратная матрица
method – Метод обращения может принимать значения:

* CV_LU - Метод Гаусса с выбранным главным элементом
* CV_SVD - Метод сингулярного разложения (SVD).
* CV_SVD_SYM - Метод сингулярного разложения (SVD) для симметричной положительно определенной матрицы

Функция cvInvert() обращает матрицу src1 и сохраняет результат в src2. В случае когда method=СМ_LU, функция возвращает определитель матрицы src1 (src1 должна быть квадратной). Если возвращен 0, операция обращения не удалась и src2 заполняется нулями.

В случае использования методов SVD, функция возвращает inversed condition of src1 (отношение наименьшего сингулярного значения к наибольшему сингулярному значению) и 0 если src1 заполнен нулями. SVD методы вычисляют псевдо-обратную матрицу матрицы если src1 сингулярная.

cvSolve

Находит решение системы линейных уравнений, точное или приближенное (методом наименьших квадратов).

int cvSolve(const CvArr* src1, const CvArr* src2, CvArr* dst, int method=CV_LU);

Параметры:

A – исходная матрица
B – правая часть системы линейных уравнений
X – результат (решение системы)
method – Метод решения (обращения матрицы) может принимать значения:

CV_LU - Метод Гаусса с выбранным главным элементом
CV_SVD - метод сингулярного разложения
CV_SVD_SYM - Метод сингулярного разложения (SVD) для симметричной положительно определенной матрицы

Функция cvSolve() находит точное решение или приближение по методу наименьших квадратов (последнее возможно при использовании метода сингулярного разложения (SVD)):

$LaTeX: dst=\arg {{\min }_{X}}\left\| src1\cdot X-src2 \right\|$

Если используется метод CV_LU, функция возвращает 1 если src1 не сингулярная матрица и 0 если сингулярная; в последнем случае dst не содержит правильных данных.

cvSVD

Производит сингулярное разложение матрицы (с элементами действительного типа)

void cvSVD(CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0);

Параметры:

   * A – Исходная матрица M x N
   * W – Результирующая матрица MxN или NxN или вектор Nx1
   * U – Необязательная левая прямоугольная матрица MxN или NxN. Если установлен флаг CV_SVD_U_T количество срок и столбцов в предыдущем предложении поменяются местами.
   * V – Необязательная правая прямоугольная матрица (NxN)
   * flags – флаги. Может быть 0, или принимать значения (можно суммировать):
         o CV_SVD_MODIFY_A - разрешает изменение матрицы src1 в ходе операции. Это ускоряет процесс.
         o CV_SVD_U_T - означает что матрица U будет возвращена в транспонированном виде. Это тоже ускоряет процесс.
         o CV_SVD_V_T - означает что матрица V будет возвращена в транспонированном виде. Это тоже ускоряет процесс.

Функция cvSVD() проводит разложение матрицы A на произведение диагональной матрицы и двух прямоугольных матриц:

$LaTeX: A=UW{{V}^{T}}$

Сингулярное разложение

cvSVBkSb

Производит обратную подстановку значений, полученных при сингулярном разложении.

void cvSVBkSb(const CvArr* W, const CvArr* U, const CvArr* V, const CvArr* B, CvArr* X, int flags)

Параметры:

   * W – Матрица или вектор сингулярных значений
   * U – Левая ортогональная матрица (может быть транспонированной)
   * V – Правая ортогональная матрица (может быть транспонированной)
   * B – Матрица, на которую умножается псевдоинверсия матрицы A. Это необязательный параметр. Еси он опущен, то принимается равным единичной матрице подходящего размера (таким образом X будет повторять псевдоинверсию матрицы A).
   * X – Результат обратной подстановки
   * flags – Флаги операции, должны точно совпадать с флагами cvSVD()

Функция cvSVBkSb() выполняет обратную подстановку для разложенной матрицы A (см. описание cvSVD()) и матрицы B:

$LaTeX: X=V{{W}^{-1}}{{U}^{T}}B$

$LaTeX: W_{(i,i)}^{-1}=1/{{W}_{(i,i)}}$ если $LaTeX: {{W}_{(i,i)}}>\varepsilon \sum\limits_{i}{{{W}_{(i,i)}}}$ , иначе $LaTeX: {{W}_{(i,i)}}=0$ .

где $LaTeX: \varepsilon$ - малая величина, зависящая от типа данных ячейки матрицы.

Эта функция, вместе с cvSVD() используется в функциях cvInvert() и cvSolve(), и возможные причины использовать эти (svd и bksb) функции "низкого уровня", избежать выделения временных матриц в функция х более высокого уровня (таких как inv and solve).

cvEigenVV

Посмотреть здесь

Вычисляет собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы.

void cvEigenVV(CvArr* mat, CvArr* evects, CvArr* evals, double eps=0, int lowindex = 0, int highindex = 0);

Параметры:

   * mat – Входная симметричная квадратная матрица, изменяется в процессе работы
   * evects – выходная матрица собственных векторов, хранящаяся как последовательность строк.
   * evals – выходной вектор собственных значений, значения хранятся в убывающем порядке (порядок собственных значений соответствует порядку хранения собственных векторов)
   * eps – точность диагонализации. Обычно принимается равным DBL_EPSILON (около 10E-15). В настоящее время, этот параметр не задействован.
   * lowindex – Необязательный индекс наибольшего собственного значения/вектора для вычисления. (см.далее.)
   * highindex – Необязательный индекс наименьшего собственного значения/вектора для вычисления. (см.далее.)

Функция cvEigenVV() вычисляет собственные значения и собственные векторы матрицы A:

mat*evects(i,:)' = evals(i)*evects(i,:)' (в виде MATLAB)

Если задан один из параметров low- или highindex, то нужно определить и второй. Индексация начинается с 1. Пример: Для вычисления наибольшей пары собственного вектора/-значения lowindex = highindex = 1. Из соображений совместимости функция всегда возвращает квадратную матрицу того же размера что и исходная матрица. Выбранные значения всегда находятся впервых highindex - lowindex + 1 строках.

Содержимое матрицы A после работы функции теряется.

На настоящий момент функция работает медленнее чем cvSVD() но немного более точно, так что если известно что A положительно определена (например это матрица ковариации) рекомендуется использовать cvSVD для поиска собственных значений/векторов A , особенно если не требуется искать собственные векторы.

cvCalcCovarMatrix

   Вычисляет матрицу ковариации ряда векторов.

void cvCalcCovarMatrix(const CvArr** vects, int count, CvArr* cov_mat, CvArr* avg, int flags);

Параметры:

vects - входные векторы, у которых должен быть одинаковый тип размер. Векторы не обязательно должны быть одномерными, они могут быть двумерными (например, изображения) и т.д
count - количество входных векторов
cov_mat - матрица ковариации результата, которая должна иметь тип элемента с плавающей точкой и быть квадратной
avg - вход или результат (в зависимости от флагов) матрица - средний вектор входных векторов
flags - Флаги операции, комбинация следующих значений:

CV_COVAR_SCRAMBLED - матрица ковариации результата вычислена как:

$LaTeX: \operatorname{cov}\_mat=scale\cdot {{[vects[0]-avg,vects[1]-avg,...]}^{T}}\cdot [vects[0]-avg,vects[1]-avg,...]$

, то есть, матрица ковариации размером count x count. Такая необычная матрица ковариации используется для быстрого PCA-анализа набора очень больших векторов (см., например, метод распознавания лиц EigenFaces (собственные лица)). Собственные значения этой "скремблированной" матрицы будут соответствовать собственным значениям истинной матрицы ковариации, и "истинные" собственные векторы могут быть легко вычислены исходя из собственных векторов "скремблированной" матрицы ковариации.

CV_COVAR_NORMAL - матрица ковариации результата вычислена как:

$LaTeX: \operatorname{cov}\_mat=scale\cdot [vects[0]-avg,vects[1]-avg,...]\cdot {{[vects[0]-avg,vects[1]-avg,...]}^{T}}$

, то есть, cov_mat будет матрицей ковариации с теми же самыми линейными размерами (ширина и высота) как общее количество элементов в каждом входном векторе. Один и только один из CV_COVAR_SCRAMBLED и CV_COVAR_NORMAL должен быть определен.

CV_COVAR_USE_AVG - Если флаг определен, функция, не вычисляет среднего от входных векторов, а, вместо этого, использует переданное в качестве прарметра значение avg. Это полезно, если усредненный вектор уже был вычислен заранее, или если матрица ковариации вычисляется по частям - в этом случае, avg не средний вектор входного подмножества (частей по ктороым вычисляется общая матрица) векторов, а средний вектор всего набора векторов.
CV_COVAR_SCALE - Если флаг определен, матрица ковариации масштабируется. В "обычном" случае масштаб '1/count'; в "скремблированном" способе масштаб есть обратная величина общего количества элементов в каждом входном векторе. По умолчанию (если флаг не определен) матрица ковариации не масштабируется ('scale=1').
CV_COVAR_ROWS - Означает, что все входные векторы хранятся как строки одной матрицы vects [0]. count в этом случае игнорируется, avg - должен быть вектором-строкой соответствующего размера.
CV_COVAR_COLS - Означает, что все входные векторы хранятся как столбцы одной матрицы vects [0]. count в этом случае игнорируется, avg - должен быть вектором-столбцом соответствующего размера.

   Функция cvCalcCovarMatrix () вычисляет матрицу ковариации и, по необходимости, средний вектор множества входных векторов. Функция может использоваться для PCA, для сравнения векторов обычно используется расстояние Махаланобиса  (Mahalanobis) и т.д.

cvMahalanobis

Вычисляет расстояние Махаланобиса между двумя векторами.

double cvMahalanobis(const CvArr* vec1, const CvArr* vec2, CvArr* mat);

Параметры:

   * vec1 - первый 1D исходный вектор
   * vec2 - второй 1D исходный вектор
   * mat - обратная матрица ковариации

Функция cvMahalonobis () вычисляет и возвращает расстояние между двумя векторами:

$LaTeX: \text{d}(\text{vec1}\text{,vec2)=}\sqrt{\sum\limits_{i,j}{(ma{{t}_{i,j}}\cdot (vec{{1}_{i}}-vec{{2}_{i}})\cdot }(vec{{1}_{j}}-vec{{2}_{j}}))}$

Матрица ковариации может быть вычислена при помощи функции cvCalcCovarMatrix () и далее инвертирована при помощи cvInvert () (метод CV_SVD - предпочтительный, т.к. матрица может быть сингулярной).

Меню

Поиск

Инструменты

Карта посещений

Счетчики

Реклама Google

Линейная алгебра

Материал из CompVision

Содержание

cvSetIdentity

cvDotProduct

cvCrossProduct

cvScaleAdd

cvGEMM

cvTransform

cvPerspectiveTransform

cvMulTransposed

cvTrace

cvTranspose

cvDet

cvInvert

cvSolve

cvSVD

cvSVBkSb

cvEigenVV

cvCalcCovarMatrix

cvMahalanobis